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螺旋线参数方程（ 空间曲线及其方程）

100次浏览     发布时间：2024-11-13 08:36:22    

一、空间曲线的一般方程

导入：在立体几何中，我们学过：两平面相交，交于一条直线。

空间直线C可看作空间两曲面的交线。


空间曲线的一般方程


例1：方程组x^2+y^2+z^2=25和z=3表示以O为球心，半径为5的球面与z=3平面的交线。


交线为圆

特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点不能同时满足两个方程。

例2:方程组x^2+y^2=16,z=3表示怎样的曲线？

交线为圆

例3 方程组

表示怎样的曲线？

解：

表示上半球面，



表示圆柱面


交线如图：维维安妮曲线


二、空间曲线的参数方程

空间曲线的参数方程如下

x=x(t) y=y(t) z=z(t) (α <=t<=β )

显然C上动点的坐标x,y,z都表示为参数t的函数，t=t1对应C上的一点t，t从α 连续变到 β时，可得到C上的全部点。

例4：若空间一点M在圆柱面x^2+y^2=a^2上以角速度w绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正向上升（其中w、v都是常数），则点M的轨迹构成螺旋线，试建立其参数方程。


解：取时间t为参数，设t=0时，动点位于A（0,0,0）处，经过时间t，动点由A移动到M（x，y,z）,M在xoy面上的投影M'(x,y,0)

由于动点在圆柱上以角速度w绕z轴旋转，经过时间t，角AOM'=wt

动点以线速度v沿平行于z轴的正方向上z=M'M=vt

因此螺旋线的参数方程为x=acoswt,y=asinwt,z=vt

三、在坐标轴上的投影

1、平面曲线在坐标轴上的投影

2、平面区域在坐标轴上的投影

3、有向曲线在坐标轴上的投影

四、在坐标面上的投影

1、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线的一般方程

在xoy平面上的投影


设空间曲线的一般方程：F（x,y,x）=0 G（x,y,z）=0

消去变量z后得：H（x，y）=0

空间曲线关于xoy面的投影柱面

投影柱面的特征：以此空间为准线，垂直于所投影的坐标面。


例5 求曲线x^2+y^2+z^2=1和z=1/2 在xoy坐标面上的投影。


解：消去变量z后得x^2+y^2=3/4,

在xoy面上的投影为x^2+y^2=3/4 z=0


例6 求抛物面y^2+z^2=x 与平面x+2y-z=0的截线在三个坐标面上的投影方程。

解：截线方程为y^2+z^2=x x+2y-z=0

如图


(1)消去z得投影x^2+5y^2+4xy-x=0 z=0

(2)消去y得投影x^2+5z^2-2xz-4x=0 y=0

(3)消去x得投影y^2+z^2+2y-z=0 x=0

补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.



例7：

则交线C在xoy面上的投影为x^2+y^2=1 z=0一个圆

所求立体在xoy面上的投影为

x^2+y^2<=1

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